Média ou mediana? Entendendo cada uma

Estava fazendo uma análise das notas dos alunos. Queremos ver como a abordagem de ensino está influenciando as notas dos alunos. Portanto, vamos analisar as notas de antes e depois da mudança.

Para fazer essa análise, vamos analisar as notas de uma turma com 21 alunos.

6.0, 7.1, 5.5, 3.0, 10.0, 100.0, 6.5, 8.2, 2.9, 3.5, 9.9, 
9.1, 8.2, 7.6, 9.9, 10.0, 6.7, 4.9, 10.0, 6.8, 6.0

O quão bem foi a turma? Isto é, qual a média de notas da turma?

Podemos tirar uma média aritmética simples. Ou seja, somar todas as notas e dividir pelo número de alunos. Logo teremos:

(6.0 + 7.1 + 5.5 + … + 6.0) / 21

O resultado desse cálculo é 11.51, aproximadamente. As notas são de 0 a 10, então, por que nossa média é 11?

Entendendo a média

A média é influenciada por todos os valores da amostra. Ou seja, se tivermos valores muito discrepantes, o valor da média é alterado.

Por exemplo, na nossa amostra de notas, temos uma nota com o valor 100.0. Por isso a média está com um valor não tão usual. Esses valores muito discrepantes, tanto maiores quanto menores, são conhecidos como outliers.

Existem muitas maneiras de tratar outliers. Uma delas é remover o outlier. Em amostras com um grande número de dados isso não tem tantos problemas, já em uma amostra com pouco dados, como a nossa, retirar um outlier pode causar muito impacto. Então como podemos resolver esse problema?

Uma forma é checar se aquele dado da amostra está correto. Outra forma é substituir esse valor pelo valor que mais se repete na amostra, ou então pelo valor da mediana. Mas o que é a mediana?

Conhecendo a mediana

A mediana é o valor que está no meio da amostra. Ou seja, ela divide a amostra em duas partes, onde metade está acima e metade abaixo. De que forma podemos calcular a mediana?

Uma forma de calcular a mediana é ordenando todos os nossos dados:

2.9, 3.0, 3.5, 4.9, 5.5, 6.0, 6.0, 6.5, 6.7, 6.8,
7.1, 7.6, 8.2, 8.2, 9.1, 9.9, 9.9, 10.0, 10.0, 10.0, 100.0

Agora que ordenamos os dados, precisamos saber qual o dado que está no meio da nossa amostra. Isto é, no nossa caso temos 21 elementos na amostra. Como é um número ímpar, basta somar 1 a este valor e dividir por 2.

Logo, temos a fórmula (numero_de_elementos + 1) / 2. Fazendo a conta, veremos que o valor do resultado é 11. Portanto, o nosso elemento mediano está na posição número 11.

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|Posição | Elemento |
|-------------------|
|1       | 2.9      | 
|-------------------|
|2       | 3.0      |
|-------------------|
|.       | .        |
|.       | .        |
|.       | .        |
|-------------------|
|11      | 7.1      |
---------------------

A nossa nota mediana é 7.1. Isso significa que metade dos nossos dados estão abaixo de 7.1 e metade dos dados estão acima.

Agora que temos a mediana, podemos substituir o outlier com o seu valor. Quando substituirmos e calcularmos a nova média, veremos que seu valor mudou para 7.09. E, calculando a mediana novamente, ela se mantém em 7.1, mas isso não é uma regra.

A mediana é o elemento do meio. Ela divide nossos dados em duas partes. No nosso caso, nossa amostra contém um conjunto de dados com um valor ímpar. Mas e se tivéssemos um valor par? Como é calculada a mediana nesse caso?

Amostra com valores pares

Para uma amostra com um número par de valores, temos que realizar um passo parecido, porém, ao invés de pegar o valor central, pegamos os dois valores que estão no centro. Então nossa amostra terá duas medianas?

Com esses dois valores nós podemos calcular sua média. Essa média dos valores centrais é a mediana da amostra.

Por exemplo, vamos imaginar que temos a seguinte amostra; 1, 2, 5, 7, 9, 11. Precisamos dos dois valores centrais. Para isso, podemos utilizar a fórmula numero_de_elementos / 2 e (numero_de_elementos / 2) + 1.

Ou seja, temos seis elementos. Logo, as fórmulas ficam 6 / 2 e (6 / 2) + 1. Com isso temos como resultado 3 e 4. Portanto, os nossos elementos centrais são o terceiro (5) e quarto (7) elemento.

Realizando o cálculo de média entre eles, obteremos o valor de 6. Ou seja, nessa amostra nossa mediana vale 6.

Para saber mais

Além da média aritmética que realizamos, existem outras médias. Como, por exemplo, as médias geométrica e harmônica.

Basicamente, a média geométrica vai medir a proporção média de um elemento em relação ao outro. Já a média harmônica mede a razão entre os elementos.

Pelo fato da média ser muito influenciada por outliers, geralmente é comum utilizar a mediana para fazer comparações entre amostras.

Além da média e da mediana, temos também a moda. A moda é o valor que mais se repete na amostra. Podemos ter distribuições com um valor modal (unimodal), dois valores (bimodal) e com muitos valores (multimodal). Há também a média ponderada.

Média, mediana e moda são medidas estatísticas muito utilizadas quando estamos fazendo análise de dados. Aqui na Alura temos uma formação de data science. Nela você verá muitas medidas estatísticas e aprenderá a utilizá-las para analisar seus dados.

Além disso, verá também formas de visualizar seus dados. Como usar o R para realizar trabalhos estatísticos e muito mais!